漫步微积分2.2 - 如何计算切线的斜率

各种想法都有自己的一席之地，但是时间会剔除许多细节。

$P＝(x_0,y_0)$ 是抛物线$y＝x_2$上的任意一个定点，如图2.4所示。作为基本思想的第一个图例，给定抛物线上一点P，计算切线的斜率。首先，我们选择曲线上的一个临近点 $Q=(x_1,y_1)$。接下来，我们画出由这两点确定的割线$PQ$，割线的斜率明显是：

$$m_{sec}={\rm slope\ of} \ PQ=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\tag 1$$

图一

现在是关键的一步︰我们让 $x_1$ 靠近 $x_0$，以便点$Q$接近定点$P$，就像一串沿着线滑动的佛珠。这样的话，割线开始改变方向并明显接近 $P$。而且，直观上来看，切线的斜率是割线斜率计算得到的极限值。用标准符号来表达就是:

$$m={\rm \lim_{Q\to P}}\ m_{sec}=\lim_{x_1\to x_0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\tag 2$$

缩略词“lim”且下方有“$x_1\to x_0$”读作“当$x_1$趋向$x_0$，…的极限是”。
我们不能简单的设置 $x_1=x_0$ 来计算极限值$m$，因为那样的话$y_1=y_0$并且给出了无意义的结果：

$$m=\frac{y_0-y_0}{x_0-x_0}=\frac{0}{0}$$

我们必须将 $x_1$ 看做非常接近 $x_0$ 而有别于它。然而，当 $x_1$ 趋进 $x_0$ 时，$y_1−y_0$和$x_1−x_0$变的非常小，他们商的极限值是多少并不清楚。
解决这个困难的办法是用曲线的方程。因为$P$和$Q$都落在曲线上，我们有$y_0＝x_0^2$和$y1＝x_1^2$，所以（1）可以写成：

$$m_{sec}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{x_1^2-x_0^2}{x_1-x_0}\tag 3$$

分子变小的原因是它的一个因子包含分母。如果约掉这个公因子，得到：

$$m_{sec}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{x_1^2-x_0^2}{x_1-x_0}=\frac{(x_1-x_0)(x_1+x_0)}{x_1-x_0}=x_1+x_0$$

（2）式就变成：

$$m=\lim_{x_1\to x_0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\lim_{x_1\to x_0}(x_1+x_0)$$

现在明显的看到：当$x_1$越来越接近$x_0$时，$x_1+x_0$越来越接近于等式$x_1+x_0=2x_0$。相应的：

$$m=2x_0\tag 4$$

是曲线$y＝x^2$在点$P(x_0,y_0)$处切线的斜率。
例1:点（1,1）和（-1/2,1/4）在抛物线$y＝x^2$（图2）上。根据（4），这些点切线的斜率是$m=2$，$m=−1$。用直线的点斜方程，两条切线明显有两个方程：

$$\frac{y-1}{x-1}=2\quad \frac{y-\frac{1}{4}}{x+\frac{1}{2}}=-1$$

同样的，

$$\frac{y-x_0^2}{x-x_0}=2x_0$$

是点$(x_0,x_0^2)$处的切线方程。

图二

现在我们介绍一个被广泛使用的符号，读作delta。

刚刚描述的过程从独立变量$x$的变化量开始。这种变化量的标准符号是$\Delta x$，所以

$$\Delta x=x_1-x_0\tag 5$$

是x从第一个值到第二个值的变化量。我们也可以将第二个值看成是第一个值加上变化量得到的：

$$x_1=x_0+\Delta x\tag 6$$

$x$ 不是一个数$\Delta$和一个数$x$的乘积，而是一个数，叫做$x$的增量。增量$x$可以为正也可以为负。因此，如果$x_0=1$，$x_1=3$，那么$x=3−1=2$；如果$x_0=1$，$x_1=−2$，那么$x=−2−1=−3$。
字母$\Delta$是希腊字母$d$；当它写在一个变量前面时，它表示该变量两个值之差。这个简单的符号是极为方便的，几乎扩展到数学和科学的每个部分。我们用它来重写上述计算过程。

将（5）或（6）带入（3）的：

$$m_{sec}=\frac{x_1^2-x_0^2}{x_1-x_0}=\frac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x}\tag 7$$

这一次没有分解分子，我们增加了它的第一项，化简得：

$$\begin{split}(x_0+\Delta x)^2-x_0^2 &=x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-x_0^2\\ &=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2\\ &=\Delta x(2x_0+\Delta x) \end{split}$$

所以（7）变为：

$$m_{sec}=2x_0+\Delta x$$

如果我们将它带入（2），利用$x1\to x0$等价于$\Delta x\to 0$，我们发现：

$$m=\lim_{\Delta x\to 0}(2x_0+\Delta x)=2x_0$$

跟之前的结果一样。再次看到指定的极限过程发生了什么：随着$x$越来越趋近于0，$2x_0+\Delta x$越来越趋近于$2x_0$。
第二种方法（即使用delta符号）取决于扩大$(x_0+x)^2$，而第一种取决于分解表达式$x_1^2−x_0^2$。这种特定情况下，两种计算明显比其他方法容易。然而，第二种比第一种容易，为此我们采用增量作为我们的标准过程。

我们只进行了抛物线$y=x^2$的计算，理论上，任何函数$y=f(x)$（图3）都可以用此计算进行描述。我们首先计算通过两个点$P$和$Q$（对应于$x_0$和$x_0+x$）割线的斜率：

$$m_{sec}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

然后计算$x$趋进$0$时$m_{sec}$的极限，得到一个数$m$，几何上它是曲线上点$P$割线的斜率：

$$m=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

这个极限值经常用$f’(x_0)$表示，来强调它依赖于点$x_0$和函数$f(x)$。因此，根据定义我们有：

$$f'(x_0)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \tag 8$$

上面给出的计算结果也可以表示为：如果$f(x)=x_2$，则$f′(x_0)=2x_0$。

图三

例2:计算$f′(x0)$ 其中$f(x)=2x_2−3x$
解：（8）中的分子是：

$$\begin{align} f(x_0+\Delta x)-f(x_0) &=[2(x_0+\Delta x)^2-3(x_0+\Delta x)]-[2x_0^2-3x_0]\\ &=2x_0^2+4x_0\Delta x+2(\Delta x)^2-3x_0-3\Delta x-2x_0^2+3x_0\\ &=4x_0\Delta x+2(\Delta x)^2-3\Delta x\\ &=\Delta x(4x_0+2\Delta x-3) \end{align}$$

因此（8）变为：

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\Delta x(4x_0+2\Delta x-3)$$ $$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x(4x_0+2\Delta x-3)=4x_0-3$$

我们根据假设得到 (8)，即曲线有单一明确的切线。这的确是个假设，因为一些曲线并没有这种切线(图4)。然而，当切线存在时，它显然需要割线$PQ$靠近极限位置，无论$Q$是从右还是从左。这两种方法区别在于$x$靠近$0$时是只通过正值还是只通过负值。当极限存在时，两个方向靠近得到的极限值相同，这是（8）含义的一部分。

图四

漫步微积分三——如何计算切线的斜率