我们已经明白等式
等价于
这个命题可以从两个角度解释。
$(a)$按照上篇文章的解释，我们可以将符号
看做对函数$f(x)$的一种运算，该运算得到函数的积分或者反导$F(x)$。从这个角度来看积分符号和$dx$一起构成符号的一部分；积分符号表明是积分运算，而$dx$告诉我们$x$是积分变量。
$(b)$第二种解释来自于上篇文章中的例4和例5。$(2)$可以写成下面的形式
这样的话$f(x)dx$很明显就是$F(x)$的微分。如果我们将$(1)$中的$dx$看做$x$的微分，那么$(1)$中的积分作用在$F(x)$的微分上即$f(x)dx$，从而得到函数本身。因此，积分符号$\int$表示的运算是符号$d$表示的运算的逆过程。
这两种解释我们都会用到。但是，第二种特别方便，不仅限于计算过程，对于某些简单的微分方程同样如此。
微分方程涉及到一个未知函数和一个或多个导数。这种等式的阶数为最高阶导数的阶数。
在积分过程中，我们已经解决过形如下面的一阶微分方程
其中$f(x)$是给定的函数。因此，等式
对其积分得到解
注意积分中的常数在两边都会出现
但是它可以写作$y=x^3+(c_2-c_1)$，不失一般性，用$c_2-c_1$代替$c$。因此，只在一边添加常数就够了，正如$(4)$那样。
我们也能处理更复杂的微分方程。例如
如果我们暂时不考虑平凡解$y=0$，它可以写成
对它积分得到
或者
这叫做$(5)$的通解，选择不同的$c$将得到不同的特解。
我们可以用分离变量法来解决等式$(5)$，也就是说，从$x$中分理处$y$然后积分。一般来说，如果一阶微分方程可以写成如下形式
变量分离到两侧，如果可以计算出积分，那么我们得到解
应该指出，只有非常特殊的例子能够用这种方式非礼变量。例如，微分方程
就不能用这种方法求解。
方程$(3),(5)$的解$(4),(6)$组成了一簇曲线，他们对应于不同的常数值$c$。这些如图1和2。出现在一阶方程通解中的任意常数给出一个特定数值解，如初始条件，位置函数$y=f(x)$ 在点$x$处的值，我们说当$x=x_0$时$y=y_0$。用几何语言表述就是，初始条件意味着曲线需要通过平面上的一个特定点。如图2，上方和下面的实线对应的初始条件为
在下一篇文章中我们会看到这些术语非常适合力学问题，其中时间表示自变量，指定出移动物体的初始位置或初始速度。
在刚刚讨论的问题中，方程$(7)$很容易求解出$y$从而得到给定微分方程的解。在没有明确要求写出函数的情况下，将方程族作为通解是比较方便的。
下面我们说明如何找到曲线，它各点的法向量通过原点，并且还过点$(2.3)$。法向量$OP$斜率为$y/x$(图3)，切线的斜率是它倒数的负值，所以我们的微分方程为
分离变量的$ydy=-xdx$，积分的
如果令$r^2=2c$，(9)的通解取更整齐的形式为
这是圆心在原点的所有圆。令$x=2,y=3$得$r^2=13$，所以
是(9)通过点(2,3)的一个特解。很明显留下这个解比坚持要解出$y$更加合理。
注解1：按理说，微分方程也许该被叫做求导方程。然而在微积分早期，微分是基本概念，导数是次要的，所以自然而言就这么叫了。对任何情况，几百年来一直用这种标准的用法，现在也没有人打算改变它的叫法。
注解2：物理或生物或化学过程的数学描述通常用函数的形式给出，它说明了随着时间的推移涉及到的量是如何变化的。当我们知道某个函数，我们通过计算导数就知道它的变化率。然而，我们经常遇到的问题是相反的，知道变化率的信息，想要找出未知的函数。这些信息通常用未知函数导数方程的形式给出。这些微分方程在科学中非常常见所以他们的研究构成了数学的一个主要分支。下篇文章我们继续讨论本文主题的一些重要应用。