漫步微积分6.3 - Sigma符号和一些特殊和

为了理清定积分，我们首先介绍一个标准的数学符号，它用于缩写长的求和公式。这就所谓sigma符号，用希腊字母$\Sigma$表示。在希腊字母表中，字母$\Sigma$对应于英语字母的$S$，也就是sum的第一个字母。这可以帮助我们记住这个符号，提示我们是和或加运算。

如果给定一些数$a_1,a_2,\ldots ,a_n$，他们的和表示为

$$\begin{equation} \sum_{k=1}^{n}a_k\tag1 \end{equation}$$

其中$k$的变化范围是1到$n$(即$a_1,a_2,\ldots,a_n$)，所有这些数相加得到：

$$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n$$

在(1)中$\sigma$下面是$k=1$，上面是$n$，也就说求和项$a_k$从$k=1$开始终止于$k=n$。下标$k$叫做和的索引，也可以用任何其他字母(如$i,j$)。

$$\sum_{k=1}^{5}k^3,\quad \sum_{i=1}^{5}i^3,\quad and\quad \sum_{j=1}^{5}j^5$$

他们都表示同一个和，即$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225$。

这里再给一些其他的例子：

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^3\frac{k}{k^2+1} &=\frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}\\ \sum_{k=1}^4(-1)^{k+1}\frac{1}{k^2} &=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\\ \sum_{k=1}^nk &=1+2+\cdots+n\\ \sum_{k=1}^n2k &=2+4+\cdots+2n\\ \sum_{k=1}^n(2k-1) &=1+3+\cdots+(2n-1) \end{align*}$$

注意第二个求和公式中的因子$(-1)^{k+1}$用于产生交替的正负符号$+,-,+,-$。后三个分别是所有正整数之和，偶数之和，奇数之和。

还有一些来自基本代数的公式：

$$\begin{align} \sum_{k=1}^nk &=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\tag2\\ \sum_{k=1}^nk^2 &=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\tag3\\ \sum_{k=1}^nk^3 &=1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\tag4 \end{align}$$

这些公式可以用数学归纳法来证明。然而，得到(2)更简单的方法是按自然顺序写出求和公式，再按相反的顺序写出来：

$$\begin{align*} s&=1+2+\cdots+n\\ s&=n+(n-1)+\cdots+1 \end{align*}$$

将等式相加得$2s=n(n+1)$，从而立马得到(2)。

还有一种方法可以来证明(2)，这需要知道一个事实，即$(k+1)^2=k^2+2k=1$，等价地

$$\begin{equation} (k+1)^2-k^2=2k+1\tag5 \end{equation}$$

如果我们让$k$取$1,2,3,\ldots,n$，就得到

$$\begin{align*} 2^2-1^2&=2\cdot 1+1\\ 3^2-2^2&=2\cdot 2+1\\ 4^2-3^2&=2\cdot 3+1\\ \cdots\\ (n+1)^2-n^2&=2\cdot n+1 \end{align*}$$

将他们相加并消元得

$$(n+1)^2-1^2=2\left[\sum_{k=1}^nk\right]+n$$

求出括号里的值即可得到(2)：

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^nk&=\frac{1}{2}[(n+1)^2-1^2-n]=\frac{1}{2}[n^2+n]\\ &=\frac{n(n+1)}{2} \end{align*}$$

漫步微积分二十六——Sigma符号和一些特殊和