Determinant(2)

Exchange

定理一 一个排列的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

• 对相邻元素对换有：

  $$a_1 a_2 ... a_n a b b_1 b_2 ... b_n$$
  • 如果 a > b，则a的逆序数不变，b的逆序数-1
  • 如果 a < b，则a的逆序数+1，b的逆序数不变
    得到相邻元素兑换排列改变奇偶性

• 基于以上相邻元素对一般情况对换有：

  $$a_1 a_2 ... a_n a b_1 b_2 ... b_n b$$
  • 将b对换到a后需要n次对换 $$a_1 a_2 ... a_n a b b_1 b_2 ... b_n$$
  • 将a对换到$b_n$后需要n+1次对换 $$a_1 a_2 ... a_n b b_1 b_2 ... b_n a$$ 对换a b对应2n+1次奇偶性改变，排列的奇偶性改变

推论 奇排列变成标准排列，对换次数是奇数次；偶排列变成标准排列，对换次数是偶数次

$$(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}$$

对行列式的排列做一次对换，其中 1 2 … i … j … n 是自然顺序，
p1 p2 … pi … pj …pn 是列的某个排列。对换后有：

$$(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n}$$

其中 1 2 … j … i … n 的逆序数的奇数r，p1 p2 … pj … pi …pn 的逆序数将反转设其逆序数为t1

$$(-1)^{t_1} = -(-1)^t \Longrightarrow (-1)^t = (-1)^{t_1 + r}$$

同时改变行号列号不改变奇偶性，即对调行列式排列元素不会改变符号。

$$p_i = j \to q_j = i$$

由此可得出存唯一行序列q1 q2 … qn，使得列序列标准化：

$$\sum_{}{(-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn}}$$

定理二 n阶行列式也可定义为$\sum_{}{(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}}$

Property

性质1 行列式和它的转置行列式相等

所有元素行列互换，并不影响行列式的值

$$D^T = \sum_{}{(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}} = \sum_{}{(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}}$$

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号

换行后的行列式表示为

$$D1 = \sum_{}{(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{jP_i}...a_{iP_j}...a_{np_n}} = -D$$

互换的行（列）排列变奇偶性，求和后即整体变号

推论 如果有两行（列）完全相同，行列式为0

互换两行（列）后有 D = -D1， 行列式为0

性质3 行列式某行（列）都乘以k，等于k乘以该行列式

记作 $r_i * k , c_i * k$
提出公因子后记作 $r_i \div k , c_i \div k$

性质4 行列式中如果有两行（列）成比例，行列式为等于零

根据性质3提出公因子后，两行（列）相同。根据性质2，行列式为0

性质5 如果行列式某行（列）都是两数的和，则可分为两行列式的和

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & (a_{1i} + a'_{1i}) & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & (a_{2i} + a'_{2i}) & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & (a_{ni} + a'_{ni}) & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$$ $$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1i} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2i} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{ni} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a'_{1i} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a'_{2i} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a'_{ni} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$$

假设组合的第i行元素都可分两数之和：

$$D = \sum_{}{(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...(a_{iP_i} + a'_{iP_i})...a_{np_n}}$$ $$D = \sum_{}{(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{iP_i}...a_{np_n}} + \sum_{}{(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a'_{iP_i}...a_{np_n}}$$

性质6 把行列式某行（列）的元素乘以同一数，加到另一行（列），行列式不变

根据性质4 和 性质5，将加上的等比例数拆分出另一个行列式，值为0，即不改变行列式