determinant(3)

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表达

把n阶行列式i行j列的元素划掉后剩下n-1阶行列行列式称为$a_{ij}$的余子式记作$M_{ij}$

加上符号变化，得到(i, j)元的代数余子式：

$$A_{ij} = (-1)^{(i + j)}M_{ij}$$

引理 一个n阶行列式，如果第i行的元素除了(i, j)元$a_{ij}$外都为0，那么行列式等于$a_{ij}$和它的代数余子式的乘积

$$D = a_{ij}A_{ij}$$

• 当(i, j)元是(1, 1)时有：

  $$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{31} & a_{32} & ... & a_{3n} \end{vmatrix}$$

  参照例10，右上角为0时，行列式等于主对角两行列式的积：

  $$D = a_{11}M_{11}$$ $$A_{11} = (-1)^2M_{11}$$ $$D = a_{11}A_{11}$$

• 当(i, j)为一般情况时有：

  $$\begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n}\\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & a_{ij} & ... & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$$

  将(i, j)元对换到(1, 1)位，需要i + j - 2次对换。

  $$D_1 = (-1)^{(i + j - 2)}D = (-1)^{(i + j)}D$$

  替换到(1, 1)元原行列式变号。所得的余子式，即是(i, j)元的余子式

  $$D = (-1)^{(i + j)}D1 = (-1)^{(i + j)}a_{ij}M_{ij} = a_{ij}A_{ij}$$

  根据(1, 1)元的结果，$D1 = a_{ij}M_{ij}$
  $M_{ij}$的变号结果与之前的“换行”变号相销，即得到相同结论。

定理3 行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应代数余子式的乘积和

将i行所有元素都表示为(i, k)元加n-1个0，根据性质5，展开n个行列式。
再根据之前的引理，即可得到：

$$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$$

或是：

$$D = a_{1i}A_{1i} + a_{2i}A_{2i} + ... + a_{ni}A_{ni}$$

范德门德行列式(Vandermonde)

$$D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ x_1 & x_2 & ... & x_n \\ x^2_1 & x^2_2 & ... & x^2_n \\ ... & ... & ... & ... \\ x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & ... & x^{n-1}_n \\ \end{vmatrix} = \prod_{n \ge i > j \ge 1}(x_i - x_j)$$

式子中的符号代表所有同类因子的乘积。
当n=2时，行列式结果为 $x_2-x_1$ 符合结论。

当一般情况时，将行列式降阶。将后一行减去前一行的x1倍得到：

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & ... & x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & ... & x_n(x_n-x_1) \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & x^{n-2}_2(x_2-x_1) & ... & x^{n-2}_n(x_n-x_1) \end{vmatrix}$$

按第一列展开，将公因子$x_i-x_1$提出：

$$D_n = (x_2 - x_1)(x_3 - x1)...(x_n - x1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ x_2 & x_3 & ... & x_n \\ x^2_2 & x^2_3 & ... & x^2_n \\ ... & ... & ... & ... \\ x^{n-2}_2 & x^{n-2}_3 & ... & x^{n-2}_n \end{vmatrix}$$

右端是n-1阶范德门德行列式，按归纳法有：

$$D_n = (x_2 - x_1)(x_3 - x1)...(x_n - x1) = \prod_{n \ge i > j \ge 2}(x_i - x_j) = \prod_{n \ge i > j \ge 1}(x_i - x_j)$$

递推过程中会将$x_i-x_j$的所有组合乘一遍，所得即是全体同类因子的乘积

推论 行列式某一行（列）元素与另一行（列）元素的对应代数余子式乘积只和等于零

$$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + ... + a_{in}A_{jn} = 0, i \neq j$$

将行列式$D = det(a_{ij})$，按第j行展开有：

$$a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2} + ... + a_{jn}A_{jn} = \begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{i1} & ... & a_{in} \\ ... & ... & ... \\ a_{j1} & ... & a_{jn} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$$

将aj行换成ai行将导致有两行元素相同，导致行列式等于零。

$$\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk} = D\delta_{ij} = \begin{cases} D &\text{if } i = j \\ 0 &\text{if } i \neq j \end{cases}$$ $$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 &\text{if } i = j \\ 0 &\text{if } i \neq j \end{cases}$$