Elementary transformation & Linear equations (1)

• 如果矩阵A经过有限次行初等变换变为矩阵B，称矩阵A与矩阵B行等价记作 $$A r top \thicksim B$$
• 如果矩阵A经过有限次列初等变换变为矩阵B，称矩阵A与矩阵B列等价记作 $$A c top \thicksim B$$
• 如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，称矩阵A与矩阵B等价记作 $$A \thicksim B$$

变换后的阶梯形线性方程组系数+增广组成矩阵，称为行最简形矩阵
把行最简形矩阵再施以初等变换可以得到更简单的矩阵称为标准形

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{cases} c_3 \leftrightarrow c_4 \\ \thicksim \\ c_4 + c_1 + c_2 \\ c_5 - 4c_1 - 3c_2 + 3c_3 \end{cases} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

定义

• 有三种形式的初等变换
  1. 对调两行
  2. 某个数k(非0)乘以某行的所有元素
  3. 某个数k(非0)乘以某行的所有元素， 加到另一行对应元素上
• 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
• 在 m x n的矩阵A中取k行k列，其交叉处元素组成的行列式，称为A的k阶子式
• 在矩阵A中如果有r阶非零子式D，而r+1阶为零，称D为A的最高阶非零子式，r称为A的秩，记作R(A)

定理一

1. $A r top \thicksim B$的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA = B;
2. $A c top \thicksim B$的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵Q，使AQ = B;

3. $A \thicksim B$的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P, n阶可逆矩阵Q，使PAQ = B;

4. 性质一: 对矩阵A进行一次初等变换相当于左乘或右乘初等矩阵

5. 性质二: 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1 P2 … pn, 使 A = P1 P2 … pn
6. 推论: 方阵A可逆的充分必要条件是$A r top \thicksim E$

定理二

若 $A \thicksim B$，则 R(A) = R(B)
推论： 如果可逆矩阵P、Q，可使 PAQ = B， 则R(A) = R(B)

1. $$0 \leqslant R(A_{m*n}) \leqslant min\{m, n\}$$
2. $$R(A^T) = R(A)$$
3. $$IF \quad A \thicksim B \quad THAN \quad R(A) = R(B)$$
4. 如果 P、Q可逆，则：R(PAQ) = R(A)
5. $$max\{R(A), R(B)\} \leqslant R(A, B) \leqslant R(A) + R(B)$$
6. $$R(A+B) \leqslant R(A) + R(B)$$
7. $$R(AB) \leqslant min\{R(A), R(B)\}$$
8. $$IF \quad A_{m*n}B_{n*l} = O \quad THAN \quad R(A) + R(B) \leqslant n$$

定理三

对于n元线性方程组Ax = b

1. 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b), 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩
2. 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n, 标准形等于行数
3. 有无限解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n, 标准形低于行数

定理四

n元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) < n (3.3)

定理五

线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) (3.2)

定理六

线性方程组 Ax = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) (3.2)