Elementary transformation & Linear equations (2)

初等变换将矩阵化为最简形

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 4 & 3 \end{vmatrix}$ $r_2-2r_1, r_3-3_r1$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 6 \end{vmatrix}$ $-1*r_2, r1-2r_2$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 6 \end{vmatrix}$

求可逆矩阵P,使PA化为行最简形

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

矩阵A行列式不为0，矩阵变换 (AE) -> (EP)

$(AE) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ $r_2-2r_1, r_3-5r_1, -1*r_2$ $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -6 & -12 & -18 & -5 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ $r_1-2r_2, r_3+6r_2$ $(EP) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & -6 & 1 \end{vmatrix}$ $P = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 7 & -6 & 1 \end{vmatrix}$

设$$

\begin{vmatrix}
-5 & 3 & 1\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}

$，有以下问题 * 求可逆矩阵P,使PA化为行最简形$

(AE) = \begin{vmatrix}
-5 & 3 & 1 & 1 & 0\
2 & -1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}

$$$r_1+2r_2, -1*r_1$ $\begin{vmatrix} 1 & -1 & -3 & -1 & -2\\ 2 & -1 & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ $r_2-2r_1, r_1+r_2$ $(EP) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 7 & 2 & 5 \end{vmatrix}$ $P = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{vmatrix}$

求可逆矩阵Q,使 $QA^T$ 化为行最简形

$(A^TE) = \begin{vmatrix} -5 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 3 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ $r_1+2r_2, r_2-3r_1, r_3-r_1, r_3-r_2$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3 & 5 & 0\\ 0 & 0 & -4 & 7 & 1 \end{vmatrix}$ $Q = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 5 & 0\\ -4 & 7 & 1 \end{vmatrix}$

利用矩阵初等变换，求方阵的逆矩阵 $\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 3\end{vmatrix}$

$r_2-r_1, r_3-r_1, -1*r_2$ $\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ $r_1-2r_2, \frac 1 2 r_3$ $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 9 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ $r_1-r_3, r_2+4r_3, \frac 1 3 r_1$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac 7 6 & \frac 2 3 & -\frac 3 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac 1 2 & 0 & \frac 1 2 \end{vmatrix}$

求X，使AX=B

初等行变换
$P(A, B) ~ (F, PB)$ 当F为单位矩阵时，P为A的逆矩阵即： $P(A, B) ~ (E, A^{-1}B)$

$A = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$ $B = \begin{vmatrix} 1 & -3\\ 2 & 2\\ 3 & -1 \end{vmatrix}$

$(AB) = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 & 1 & -3\\ 2 & 2 & 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & -1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$ $r_3-r_2, r1 \leftrightarrow r3$ $\begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 & 1 & -3\\ 2 & 2 & 1 & 2 & 2\\ 4 & 1 & -2 & 1 & -3 \end{vmatrix}$ $r_2-2r_1, r_3-4r_1$ $\begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & 1 & -3\\ 0 & 4 & 5 & 0 & 8\\ 0 & 5 & 6 & -3 & 9 \end{vmatrix}$ $r_3-r_2, r_2 \leftrightarrow r_3$ $\begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & 1 & -3\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 1\\ 0 & 4 & 5 & 0 & 8 \end{vmatrix}$ $r_1+r_2, r_3-4r_2$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & -2\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 12 & 4 \end{vmatrix}$ $r_1+r_3, r_2-r_3$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 10 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -15 & -3\\ 0 & 0 & 1 & 12 & 4 \end{vmatrix}$ $X = \begin{vmatrix} 10 & 2\\ -15 & -3\\ 12 & 4 \end{vmatrix}$

求X，使XA=B

初等列变换
$P(A top B) ~ (F top PB)$当F为单位矩阵时，P为A的逆矩阵即：$P(A top B) ~ (E top A^{-1}B)$

$A = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 3\\ -3 & 3 & -4 \end{vmatrix}$ $B = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}$

$(A top B) = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 3\\ -3 & 3 & -4\\ 1 & 2 & 3\\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}$ $c_1 \leftrightarrow c_3, c_2-2c_1$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 2\\ -4 & -1 & -3\\ 3 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$ $c_2+4c_3, c_1-3c_2, c_3-2c_2, -1*c_3$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 3 & 0 & -1\\ -8 & 3 & 4 \end{vmatrix}$ $c_1+3c_3, c_2+c_3$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & -1 & -1\\ -4 & 7 & 4 \end{vmatrix}$ $X = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1\\ -4 & 7 & 4 \end{vmatrix}$

k为何值时会有对应个数解？ $A = \begin{vmatrix}1 & -2 & 3k\\-1 & 2k & -3\\k & -2 & 3\end{vmatrix}$

$r_2+r_1, r_3-kr_1$ $A = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3k\\ 0 & 2k-2 & 3k-3\\ 0 & 2k-2 & 3k - 3k^2 \end{vmatrix}$

k=1时，秩为1
k=-1时，秩为2
k不为1或-1时，秩为3

$\lambda$ 取何值时，非齐次线性方程组

$\begin{cases} \lambda x_1 &+ x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 &+ \lambda x_2 + x_3 = \lambda \\ x_1 &+ x_2 + \lambda x_3 = \lambda^2 \end{cases}$ $r_1<->r_3, r_2-r_1, r_3-\lambda r_1$ $\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda & \lambda^2\\ 0 & \lambda-1 & 1-\lambda & \lambda-\lambda^2\\ 0 & 1-\lambda & 1-\lambda^2 & 1-\lambda^3 \end{vmatrix}$ $\frac 1 {\lambda-1} r_2, r_3+r_2, r_1 -r_2$ $\begin{vmatrix} 1 & 0 & \lambda+1 & \lambda^2+\lambda\\ 0 & 1 & -1 & -\lambda\\ 0 & 0 & 2-\lambda-\lambda^2 & 1+\lambda-\lambda^2-\lambda^3 \end{vmatrix}$

$\lambda$ 不为1或-2时，有唯一解
$\lambda$ 为-2时，无解
$\lambda$ 为1时，有无限解