漫步微积分5.3 - 不定积分和换元法

如果$y=F(x)$是导数已知的函数，例如

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}F(x)=2x\tag1 \end{equation}$$

我们能够知道函数$F(x)$？不需要多想我们就能写出符合要求的函数，即$F(x)=x^2$。更进一步，添加一个常数不会改变导数结果，所以下面的所有函数

$$x^2+1,\quad x^2-\sqrt{3},\quad x^2+5\pi$$

或者更一般地

$$x^2+c$$

其中$c$是常数，都会满足性质(1)。还存在其他的答案吗？答案是没有了。

这个答案的理由出自下面的原则：

如果$F(x),G(x)$是两个函数，并且有相同的导数$f(x)$，那么$G(x),F(x)$只相差一个常数，也就是说，存在一个常数$c$，使得

$$G(x)=F(x)+c$$

该结果对区间上的所有$x$均成立。

为了明白为什么这个命题是正确的，我们注意到在区间上$G(x)-F(x)$的导数为零

$$\frac{d}{dx}[G(x)-F(x)]=\frac{d}{dx}G(x)-\frac{d}{dx}F(x)=f(x)-f(x)=0$$

这个差本身肯定是一个常数值$c$，所以

$$G(x)-F(x)=c\quad or\quad G(x)=F(x)+c$$

这就是我们想要建立的内容。

这个原则告诉我们等式$(1)$解的形式肯定是$x^2+c$。

刚刚讨论的问题涉及到寻找一个函数，而该函数导数是已知的。如果$f(x)$是已知的，那么函数$F(x)$使得

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}F(x)=f(x)\tag2 \end{equation}$$

叫做$f(x)$的反导，从$f(x)$寻找$F(x)$的过程是求导逆过程。我们已经看到$f(x)$的反导并非是唯一确定的，但是如果我们能够找到一个$F(x)$，那么所有其他的形式就是

$$F(x)+c$$

例如，$\frac{1}{3}x^3$是$x^2$的一个反导，那么所有$x^2$ 反导的可能形式为

$$\frac{1}{3}x^3+c$$

因为历史原因，$f(x)$的反导通常叫做$f(x)$的积分，反微分叫做积分。$f(x)$积分的标准符号为

$$\begin{equation} \int f(x)dx\tag3 \end{equation}$$

读作$f(x)dx$的积分。等式

$$\int f(x)dx=F(x)$$

完全等价于$(2)$。函数$f(x)$叫做被积函数。$(3)$中细长的$S$符号叫做积分符号，最早由莱布尼兹引入。

为了说明这一点，我们注意到公式

$$\begin{equation} \int x^2dx=\frac{1}{3}x^3\quad and\quad \int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+c\tag4 \end{equation}$$

都是正确的，但是第一个只给出了一个积分，第二个给出了所有可能的情况。正因为此，积分$(3)$经常被叫做不定积分，这是相对于定积分而言的(注：关于定积分会在后续的文章里详细介绍)。$(4)$中第二个公式里的常数$c$叫做积分常数，经常引用为任意常数。之前讨论过，为了找到函数$f(x)$的所有积分，首先找到一个积分比较有效，然后在末尾添加一个任意常数。

我们之前计算过得所有导数下载都可以反过来，重写成积分的形式。例如，对于幂函数

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\quad becomes\quad \int nx^{n-1}dx=x^n$$

更加方便的版本是

$$\frac{d}{dx}\frac{x^{n+1}}{n+1}=x^n$$

它的积分形式为(最好记住它)

$$\begin{equation} \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1\tag5 \end{equation}$$

总结：对幂函数积分，就是指数加1后除以新的指数。

例1：求积分：

$$\begin{align*} \int x^3dx=&\frac{x^4}{4}=\frac{1}{4}x^4,\quad \int x^{572}dx=\frac{x^{573}}{573}=\frac{1}{573}x^{573}\\ &\int \frac{dx}{x^5}=\int x^{-5}dx=\frac{x^{-4}}{-4}=-\frac{1}{4x^4}\\ &\int \sqrt{x}dx=\int x^{1/2}dx=\frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}x^{3/2} \end{align*}$$

读者应该注意到，当$n=-1$时，$(5)$的右边分母变为零，因此没有意义。这时候

$$\int \frac{dx}{x}$$

的积分是微积分中最重要的一部分，有广泛的应用。后续的文章会详细介绍。

下面附加的积分规则是个变相版本

$$\begin{equation} \int cf(x)dx=c\int f(x)dx\tag6 \end{equation}$$

以及

$$\begin{equation} \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\tag7 \end{equation}$$

第一个说明常数因子可以从积分号的一边移到另一边。注意这只会适用于常数，不适用于变量

$$\int x^2dx\neq x\int xdx$$

左右两边分别是$\frac{1}{3}x^3,x\cdot \frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^3$。公式$(7)$是说和的积分就是各项分别积分的和。对任何有限项均成立。

为了证实$(6),(7)$，注意到他们等价于微分形式

$$\frac{d}{dx}cF(x)=c\frac{d}{dx}F(x)$$

以及

$$\frac{d}{dx}[F(x)+G(x)]=\frac{d}{dx}F(x)+\frac{d}{dx}G(x)$$

其中$(d/dx)F(x)=f(x),(d/dx)G(x)=g(x)$

例2：将规则$(5),(6),(7)$组合起来，我们可以积分任何多项式。例如

$$\begin{align*} \int (3x^4+6x^2)dx &=3\int x^4dx+6\int x^2dx\\ &=\frac{3}{5}x^5+2x^3+c \end{align*}$$

以及

$$\begin{align*} \int (5-2x^5+3x^11)dx &=5\int dx-2\int x^5dx+3\int x^{11}dx\\ &=5x-\frac{1}{3}x^6+\frac{1}{4}x^{12}+c \end{align*}$$

观察可以发现$\int dx=\int 1dx=x$。每个计算中都在某位添加了一个任意常数，保证包含了所有可能的积分。

例3：我们也能积分许多非多项式的，例如幂函数的线性组合：

$$\int \sqrt[3]{x^2}=\int x^{2/3}dx=\frac{3}{5}x^{5/3}+c$$ $$\begin{align*} \int\frac{2x^3-x^2-2}{x^2}dx &=\int(2x-1-2x^{-2})dx\\ &=x^2-x+\frac{2}{x}+c\\ \int\frac{5x^{1/3-2x^{-1/3}}}{\sqrt{x}}dx &=\int(5x^{-1/6-2x^{5/6}})dx\\ &=66x^{5/6}-12x^{1/6}+c \end{align*}$$

公式

$$\begin{equation} \int u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1},\quad n\neq =-1\tag8 \end{equation}$$

与$(5)$只有一点区别，就是$x$被$u$替换掉了。然而，我们将$u$看做$x$的某个函数$f(x)$，$u$的微分为$du$，这样的话

$$u=f(x)$$

以及

$$du=f'(x)dx$$

$(8)$就变为

$$\begin{equation} \int [f(x)^n]f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1\tag9 \end{equation}$$

这是$(5)$更一般的泛化。

例4：实际中，我们通常显示地改变变量来使用这个想法，从而将一个复杂的积分变成如$(8)$ 那样简单的形式。例如

$$\int (3x^2-1)^{1/3}4xdx$$

我们注意到括号内的积分为$6xdx$，与$4xdx$只相差一个常数因子，所以我们写为

$$\begin{align*} u&=3x^2+1\\ du&=6xdx\\ xdx&=\frac{1}{6}du \end{align*}$$

这个方法叫做换元法，因为它通过替换或改变变量来简化问题。正如公式$(9)$那样，该方法之所以成功取决去存在一个积分，被积函数的一部分实质上是另一部分的导数(当然除了常数因子外)。

注解1：例4的积分是有意构造出来似的换元法有效。为了说明这一点，观察一个类似的积分

$$\begin{equation} \int (3x^2-1)^{1/3}dx\tag{10} \end{equation}$$

形式上看着比例4要简单，实际上却是更加复杂了，因为积分项缺少重要的因子$x$。如果我们尝试用之前提到的换元法，我们将得到

$$\int (3x^2-1)^{1/3}dx=\int u^{1/3}\cdot \frac{du}{6x}$$

分母中的$x$无法消掉。后面的文章我们会讲到其他方法来解决这种问题，但是目前我们无法继续做下去。

注解2：许多人试图将$(10)$写成

$$\begin{equation} \int(3x^2-1)^{1/3}dx=\frac{(3x^2-1)^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}(3x^2-1)^{4/3}+c\tag{11} \end{equation}$$

这是不对的。为了理解为何错误，回顾一下计算积分的时候，我们总是简单的验证结果，如果我们对$f(x)$的积分有所怀疑时，通过计算它的导数看是否等于$f(x)$来进行验证。很明显$(11)$不满足，因为右边的导数是

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}(3x^2-1)^{1/3}\cdot 6x=(3x^2-1)^{1/3}6x$$

确实不是$(10)$的积分项。

最后，$\sin,\cos$函数的导数形式可以得出下面的积分形式：

$$\begin{equation} \int \cos udu=\sin u+c\tag{12} \end{equation}$$

以及

$$\begin{equation} \int \sin u du=-\cos u+c\tag{13} \end{equation}$$

这些都是许多应用的有力工具，从概率论到声波的传播。

例5：$(a)$求积分

$$\int \cos 3xdx$$

观察$(12)$，我们看出利用$u=3x$使得$du=3dx,dx=\frac{1}{3}du$，然后我们可以写出

$$\begin{align*} \int \cos 3xdx &=\int \cos u\cdot\frac{1}{3}du=\frac{1}{3}\int \cos udu\\ &=\frac{1}{3}\sin u+c=\frac{1}{3}\sin 3x+c \end{align*}$$

$(b)$求积分

$$\int x\sin(1-x^2)dx$$

我们利用$u=1-x^2$使得$du=-2x,xdx=-\frac{1}{2}du$，然后利用$(13)$：

$$\begin{align*} \int x\sin(1-x^2)dx &=\int \sin u\cdot(-\frac{1}{2}du)=-\frac{1}{2}\int \sin udu\\ &=\frac{1}{2}\cos u+c=\frac{1}{2}\cos(1-x^2)+c \end{align*}$$

注解3：从例4和例5中可以看到微分符号在用换元法计算不定积分时极其有用。这个方法对许多学生而言就像一种魔术。为了理解为何它是合法的(数学中不允许有魔术)，将积分形式应用到该方法有效的积分上

$$\begin{equation} \int f[g(x)]g'(x)dx\tag{14} \end{equation}$$

我们需要做的就是使$u=g(x)$，那么$du=g’(x)dx$。现在$(14)$可以重新写成

$$\int f[g(x)]g'(x)dx=\int f(u)du$$

如果我们对它进行积分，则

$$\int f(u)du=F(u)+c$$

或者

$$F'(u)=f(u)$$

然后因为$u=g(x)$，$(14)$可以写成

$$\begin{equation} \int f[g(x)]g'(x)dx=\int f(u)du=F(u)+c=F[g(x)]+c\tag{15} \end{equation}$$

证明这个过程的一切就是观察到$(15)$是正确的答案，因为利用链式法则

$$\frac{d}{dx}F[g(x)]=F'[g(x)]g'(x)=f[g(x)]g'(x)$$

链式法则让我们可以利用符号$dx,du$。

最后，给出换元法的基本流程：

1.认真选择$u$，也就是$u=g(x)$
2.计算$du=g’(x)dx$
3.换元$g(x)=u,g’(x)dx=du$。这时候积分必须只是关于$u$的项，不能存在$x$。如果不满足，那么重新选择$u$
4.计算步骤3中的积分
5.用$g(x)$替换$u$，得到全部关于$x$的结果

漫步微积分二十一——不定积分和换元法